Родился в Москве. Окончил Центральную музыкальную школу при Московской государственной консерватории имени П. И. Чайковского, затем Московскую консерваторию и аспирантуру (класс профессора С. Доренского). 

Среди побед музыканта такие престижные международные конкурсы, как Х Международный конкурс пианистов имени Ф. Шуберта (Германия), Международный конкурс пианистов в городе Энсхеде (Нидерланды), а также специальный приз XVI Международного конкурса имени П. И. Чайковского. 

Внушителен и перечень фестивалей, среди которых Фортепианный фестиваль в Майами, Arts Naples World Festival (США), Международный фестиваль фирмы «Стейнвей» (США), фестивали в Анси и Кольмаре (Франция), Пасхальный фестиваль, «Звёзды белых ночей» и др.

Пианист выступает со знаменитыми оркестрами: Симфоническим оркестром Мариинского театра, Большим симфоническим оркестром имени П. И. Чайковского, Российским национальным оркестром, Национальным филармоническим оркестром России, оркестром Filarmonica de Toscanini, Миланским оркестром имени Дж. Верди, оркестром National il de France и многими другими коллективами. 

На сцене Концертного зала имени С. В. Рахманинова «Филармонии-2» исполнил все фортепианные концерты Чайковского в один вечер в сопровождении Государственного академического симфонического оркестра России имени Е. Ф. Светланова. 

Сотрудничал с известными дирижёрами, среди которых Валерий Гергиев, Владимир Спиваков, Михаил Плетнёв, Юрий Башмет, Мишель Плассон, Юрий Симонов, Александр Дмитриев, Дэниэл Смит, Бьярте Энгесет, Чарльз Оливьери-Монро, Евгений Бушков, Максим Венгеров, Пол Уоткинс и другие.

Среди партнёров Копачевского в концертах камерной музыки Давид Герингас, Дмитрий Ситковецкий, Юлиан Рахлин, Павел Нерсесьян, Александр Гиндин, Андрей Баранов, Александр Бузлов, Никита Борисоглебский, Павел Милюков, Александр Рамм, Нарек Ахназарян, Валерий Соколов, Борис Андрианов. 

Концерты музыканта регулярно проходят в Великобритании, Германии, Австрии, Швейцарии, США, Бразилии, Уругвае, Нидерландах, Франции, Италии, Греции, Аргентине, Китае, Эстонии и во многих городах России. Особо популярен Копачевский в Японии, где специально по заказу телекомпании NHK записал диск с фортепианными произведениями Шопена. 

В сотрудничестве с голландскими звукозаписывающими фирмами Piano Classics и Brilliant Classics выпущены два CD пианиста с программами из сочинений композиторов эпохи романтизма.