История оркестра началась в 1978 году, когда скрипач и дирижёр Виктор Корначёв основал ансамбль из девяти выпускников московских музыкальных вузов. В 1988 году коллектив, к тому моменту выросший до оркестра, возглавил Александр Рудин, который и дал ему название Musica Viva.

Сегодня Musica Viva – это оркестр, исполняющий музыку разных эпох, стилей и жанров. Интерпретации коллектива отличает стремление музыкантов к исторической точности. Большое место в репертуаре занимают редко звучащие и «забытые» произведения прошлого. Так, в исполнении оркестра в России впервые прозвучал ряд сочинений Генделя, сыновей И. С. Баха, Чимарозы, Диттерсдорфа, Дюссека, Плейеля, Триклира, Фолькмана, Козловского, Фомина, Виельгорского, Алябьева, Дегтярёва и многих других. Отдельный пласт творческой деятельности коллектива составляют произведения современных композиторов. В разные годы Musica Viva осуществил премьеры сочинений Вячеслава Артёмова, Арво Пярта, Аулиса Саллинена, Валентина Сильвестрова, Александра Маноцкова, Андрея Головина, Сергея Ахунова и др.

В течение последнего десятилетия Musica Viva осуществляет крупные проекты – оперы в концертном исполнении и оратории с участием выдающихся зарубежных певцов и дирижёров. Под руководством Александра Рудина в Москве были исполнены «Сотворение мира» и «Времена года» Гайдна, оперы «Идоменей» Моцарта, «Оберон» Вебера, «Фиделио» Бетховена, «Орфей и Эвридика» Глюка (в парижской редакции 1774 года), Реквием Шумана, оратории «Торжествующая Юдифь» Вивальди, «Минин и Пожарский, или Освобождение Москвы» Дегтярёва, «Павел» Мендельсона. Впервые в России были исполнены кантата «Аполлон и Дафна» и серената «Ацис, Галатея и Полифем» Генделя, а также серената «Марк Антоний и Клеопатра» и оратория «Паломники ко Гробу Господню» Хассе. В сотрудничестве с британским маэстро Кристофером Мулдсом осуществлены российские премьеры опер Генделя «Орландо», «Ариодант» и оратории «Геркулес». В рамках Генделевского фестиваля, который состоялся в Москве в Концертном зале имени П. И. Чайковского в сентябре 2021 года, оркестр Musica Viva исполнил ораторию «Теодора» (дирижёр – Александр Рудин) и псалом Dixit Dominus (дирижёр – Андреас Шперинг) с международным составом солистов и вокальным ансамблем Intrada.

Musica Viva привлекает к сотрудничеству крупнейших музыкантов мира, в их числе Кристофер Хогвуд, Роджер Норрингтон, Кристиан Тецлафф, Томас Цетмайр, Владимир Юровский, Андраш Адориан, Роберт Левин, Андреас Штайер, Элисо Вирсаладзе, Наталия Гутман, Иван Монигетти, Николай Луганский, Борис Березовский, Алексей Любимов, Джулиано Карминьола, Изабель Фауст, Руль Дильтинс, примадонны мировой оперной сцены Джойс ДиДонато, Анник Массис, Вивика Жено, Дебора Йорк, Сюзан Грэм, Малена Эрнман, Стефани д’Устрак, Хибла Герзмава, Юлия Лежнева и др.