Родился в Риге (Латвия). С 1993 по 1996 год — студент Военного университета (Москва). В 1999 году закончил факультет журналистики МГУ имени М. В. Ломоносова. В 2002 году закончил Российский институт театрального искусства (ГИТИС) на курсе М. Скандарова. 

Стал широко известен после экранизации романа Достоевского «Преступление и наказание» (режиссёр — Д. Светозаров, 2007), где исполнил главную роль — Родиона Раскольникова. 

На экране и в театре Кошевой также играл Феликса Юсупова, Велимира Хлебникова, Николая Гумилёва, Василия Каменского и др. 

Принимает участие в спектаклях в Александринском театре, Большом драматическом театре имени Г. А. Товстоногова, Большом театре России и в Театре Наций. 

Выступает с концертными программами, записывает музыкальные треки на стихи русских поэтов, озвучивает мультфильмы, аудиокниги, снимается в документальных проектах.