Родился в Москве. Окончил Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского в 2004 году. С 2006 по 2008 год обучался в Центре оперного пения Галины Вишневской.

С 2007 по 2015 год был солистом Московского театра «Новая опера» имени Е. В. Колобова, а с 2013 года является приглашённым солистом Государственного академического Большого театра России. На Международном конкурсе вокалистов имени Михаила Глинки стал обладателем III премии, а также специального приза за лучшее исполнение произведений Георгия Свиридова и приза лучшему басу, присуждаемого Межрегиональной общественной организацией «Шаляпинский центр» (Москва, 2009).

В 2007 году дебютировал в партии Фигаро в опере «Свадьба Фигаро» Моцарта на фестивале Opera Ischia (Италия).

В 2009 году выступил в партии Калхаса в опере «Ифигения в Авлиде» Глюка в Римской опере под управлением маэстро Риккардо Мути.

В 2010 году певец представил партию Уберто в опере «Служанка‑госпожа» Перголези (Стамбул, Турция), а также партию Пимена в опере «Борис Годунов» Мусоргского: выступления прошли на фестивале на острове св. Маргет в Будапеште и на Международном фестивале в Сантадере (Испания).

В 2011 году вновь исполнил партию Пимена — в Валлонской королевской опере в Льеже (Бельгия) и в Дебрецене (Венгрия).

2012 год ознаменовался двумя значимыми работами: участием в постановке оперы «Джанни Скикки» Пуччини в Национальном оперном театре Лиона (Франция) в партии Амантио ди Николао, а также исполнением партии Дона Альфонсо в опере «Лукреция Борджа» Доницетти в оперном театре Сантьяго (Чили).

В 2013 году исполнил партию Старого цыгана в опере «Алеко» Рахманинова в Teatro Colón (Буэнос‑Айрес, Аргентина). Следующая важная работа — роль Агамемнона в «Орестее» Танеева: постановка на сцене Фишер‑центра (Нью‑Йорк, США) стала первым исполнением этой оперы в США.

В 2014 году выступил в партии Монтероне в опере «Риголетто» Верди в Большом театре Женевы (Швейцария).

2015 год был насыщен событиями: Максим Кузьмин‑Караваев принял участие в исполнении оратории «Страсти по Матфею» Баха, спел партию Падре Лорана в опере «Ромео и Джульетта» Гуно в Московском театре «Новая опера» имени Е. В. Колобова, Казанском оперном театре имени Мусы Джалиля и Большом театре. Также в этом году певец представил партию Дона Бартоло в «Свадьбе Фигаро» Моцарта в Большом театре, Раймондо в опере «Лючия ди Ламмермур» Доницетти в Казанском оперном театре имени Мусы Джалиля и Родольфо в «Сомнамбуле» Беллини в Gärtnerplatztheater (Мюнхен, Германия).

В 2016 году репертуар артиста пополнился несколькими яркими работами: партией Дона Базилио в «Севильском цирюльнике» Россини в Гамбургском государственном оперном театре (Германия), партией Родольфо в «Сомнамбуле» Беллини в Gärtnerplatztheater (Мюнхен, Германия), партией Раймондо в «Лючии ди Ламмермур» Доницетти в Казанском оперном театре имени Мусы Джалиля, а также партией Собакина в «Царской невесте» Римского‑Корсакова в Московском театре «Новая опера» имени Е. В. Колобова. Помимо оперных работ, певец участвовал в исполнении Мессы си минор Баха в Казанском оперном театре имени Мусы Джалиля и Большом зале Минской филармонии, Реквиема Сен‑Санса в Концертном зале имени П. И. Чайковского в Москве (дирижёр — Михаил Плетнёв) и оратории «Мессия» Генделя в Большом зале Московской консерватории (дирижёр — Геннадий Дмитряк).

В 2017 году выступил в партии Пимена в опере «Борис Годунов» Мусоргского в Баварской национальной опере (Германия) и в партии Раймондо в «Лючии ди Ламмермур» Доницетти в Théâtre du Capitole (Франция). В концертной деятельности певец принял участие в исполнении «Оды на День Святой Цецилии» Пёрселла в Большом зале Московской консерватории (дирижёр — Геннадий Дмитряк), а также Реквиема Моцарта и Торжественной мессы Бетховена в Большом зале Минской филармонии (дирижёр — А. Анисимов).

В 2018 году состоялся дебют Максима Кузьмина‑Караваева в партии короля Аркеля в опере «Пеллеас и Мелизанда» Дебюсси в Оперном театре Овьедо (Испания). В том же году певец принял участие в исполнении оратории «Самсон» Генделя в Большом зале Московской консерватории.

Постоянно сотрудничает и выступает с Российским национальным оркестром, Государственной академической хоровой капеллой России имени Александра Юрлова, Государственной академической симфонической капеллой под управлением Валерия Полянского, с оркестром «Новая Россия», оркестром Musica Viva и Московским ансамблем духовной музыки «Благовест», Государственным академическим камерным оркестром России, Государственным академическим симфоническим оркестром Республики Беларусь.

Ведёт активную концертную деятельность, гастролировал в Москве, Иркутске, Костроме, Рязани, Санкт-Петербурге, Калининграде, Ялте, Севастополе, Симферополе, Муроме. Многократно выступал за рубежом, в том числе в Италии, Австрии, Германии, Болгарии и Канаде.

Также певец много выступает в кантатно‑ораториальном жанре. В его репертуаре партии в Рождественской оратории, Мессе си‑минор и Страстях по Матфею Баха, Stabat Mater и Нельсон‑мессе Гайдна, в ораториях «Самсон» и Мессия Генделя, Торжественной мессе Бетховена, Реквиемах Моцарта, Верди, Шумана, Форе и Сен‑Санса, в Stabat Mater и Маленькой торжественной мессе Россини.

В репертуаре следующие партии: Уберто («Служанка‑госпожа» Перголези); Калхас («Ифигения в Авлиде» Глюка); Мелиссо («Альцина» Генделя); Фигаро («Свадьба Фигаро») и Дон Альфонсо («Так поступают все») в операх Моцарта; Оровез («Норма») и граф Родольфо («Сомнамбула») в операх Беллини; Дон Маньифико («Золушка») и Дон Базилио («Севильский цирюльник») в операх Россини; Дон Альфонсо («Лукреция Борджиа» Доницетти); Монтероне и Спарафучиле («Риголетто»), Филипп II («Дон Карлос»), Рамфис («Аида»), Пагано («Ломбардцы»), Банко («Макбет»), Феррандо («Трубадур») в операх Верди; Коллен («Богема») и Симоне («Джанни Скикки») в операх Пуччини; Мефистофель («Фауст» Гуно); король Марк («Тристан и Изольда» Вагнера); Аркель («Пеллеас и Мелизанда» Дебюсси); Гремин («Евгений Онегин») и король Рене («Иоланта») в операх П. И. Чайковского; Фарлаф («Руслан и Людмила» Глинки); князь Игорь в одноимённой опере Бородина; Собакин («Царская невеста» Римского‑Корсакова); Пимен («Борис Годунов» Мусоргского); Агамемнон («Орестея» Танеева); Старый цыган («Алеко» Рахманинова).

Концертный репертуар певца включает романсы Глинки, Даргомыжского, Бородина, Балакирева, Мусоргского, Римского‑Корсакова, Кюи, Рахманинова, П. И. Чайковского, Шостаковича, Свиридова, Шуберта, Шумана, Брамса, Массне.