Родился в Москве. Учился в Детской музыкальной школе № 36 имени В. В. Стасова (класс К. Либуркиной), затем в Центральной музыкальной школе при Московской консерватории (класс профессора М. Воскресенского), которую окончил в 1994 году. В его же классе в 1999 году с отличием окончил Московскую консерваторию. 

Ещё до поступления в консерваторию, в возрасте 17 лет, стал лауреатом IV премии Х Международного конкурса имени П. И. Чайковского, а в 1999 году — лауреатом II премии Международного конкурса пианистов имени королевы Елизаветы в Брюсселе. Эти успехи способствовали началу интенсивной концертной деятельности пианиста. 

В 2006 году был удостоен звания «Заслуженный артист России». 

В 2007 году стал победителем на Международном конкурсе пианистов в Кливленде (США) и получил ангажемент на более чем пятьдесят концертов в США. 

Александр Гиндин является международным художественным руководителем Royal Swedish Festival, художественным руководителем и дирижёром Калужского молодёжного симфонического оркестра и Ансамбля солистов «Эрмитаж», а с 2010 года — арт-директором фестиваля «Приношение Кнушевицкому» в Саратове. 

Гастролирует в России и за рубежом. Его концерты проходят в лучших залах Бельгии, Великобритании, Германии, Франции, Дании, Израиля, Испании, Италии, Люксембурга, Нидерландов, Норвегии, Португалии, Турции, Хорватии, Чехии, Швейцарии, Швеции, Японии, Китая, Бразилии, США и др. 

Выступал с такими крупными российскими и зарубежными оркестрами, как Большой симфонический оркестр имени П. И. Чайковского, Национальный филармонический оркестр России, Российский национальный оркестр, Роттердамский симфонический оркестр, филармонические оркестры Лондона, Хельсинки, Люксембурга, Льежа, Фрайбурга, Монте-Карло, Мюнхена, Salzburg Camerata, Токийский столичный симфонический оркестр, Новый японский филармонический оркестр, Кансайский филармонический оркестр и др. 

Среди дирижёров, с которыми сотрудничал пианист, — Владимир Ашкенази, Владимир Федосеев, Владимир Спиваков, Владимир Минин, Арнольд Кац, Юрий Симонов, Дмитрий Китаенко, Фуат Мансуров, Василий Синайский, Алан Гилберт, Кшиштоф Пендерецкий, Пааво Ярви, Джеймс Де Прист, Леонард Слаткин, Луи Лангре, Элиаху Инбал, Артур Фаген, Давид Шаллон, Юозас Домаркас и др. 

Постоянный участник музыкальных фестивалей, среди которых российские фестивали «Русская зима», «Звёзды в Кремле», «Новый век российского пианизма», «Владимир Спиваков приглашает», «Кремль музыкальный», а также Royal Swedish Festival в Стокгольме, фестиваль имени Робера Казадезюса в Лилле, фестиваль Владимира Спивакова в Кольмаре, Bad Kissengen Sommer (Германия), Folle journee в Нанте (Франция), Festival Radio France, «Восходящие звёзды» (Польша), «Дни русской культуры в Моравии» (Чехия), Летний фестиваль в Охриде (Македония), Летний фестиваль в Дубровнике (Хорватия), Международный фортепианный фестиваль в Шанхае (Китай), фестивали в Эхтернахе, Ла Рок-д’Антероне, Брюсселе, Лиможе, Лилле, Кракове, Риме, Синтре, на Сицилии и др. 

Александру Гиндину принадлежит оригинальная фортепианная транскрипция хореографической поэмы для оркестра «Вальс» Равеля, изданная в Токио в 2001 году и в Санкт-Петербурге в 2008 году. 

Записывался на телевидении и радио России, Бельгии, Германии, Швеции, Франции, Люксембурга, Польши, США, Японии. Им создано 28 компакт-дисков в сотрудничестве с ведущими фирмами России, Франции, Великобритании, Германии, Финляндии, Японии, в числе которых Decca, Capriccio, Ondine, Tri-M Classics, «Русский сезон» (российский партнёр Le Chante du Monde), DML, CD Accord, Naxos и др.