Народный артист России. 

Родился в 1944 году в Москве. Сын трубача Михаила Фрумкина, игравшего в 1930–1940-е годы в джаз-оркестре Александра Цфасмана. В 1962 году окончил Центральную музыкальную школу при Московской государственной консерватории имени П. И. Чайковского по классу фортепиано, в 1962−1963 годах учился в МГК на фортепианном отделении.

В 1965 году выступил со своим квинтетом (с Андреем Товмасяном и Виталием Клейнотом) на джазовом фестивале в Москве. С 1966 по 1973 год — пианист и аранжировщик в Концертном эстрадном оркестре Вадима Людвиковского.

В составе оркестра, а также квинтета солистов («РТ-квинтет», «Крещендо») выступал на фестивалях в Москве, Таллине, Праге и Варшаве (1967−1968). Также возглавлял ансамбль солистов при оркестре «Граммофон», с которым записал и выпустил на пластинках несколько композиций собственного сочинения и аранжировок популярных зарубежных мелодий.

С 1973 года — пианист и аранжировщик в ансамбле «Мелодия». В 1982 году после ухода Георгия Гараняна стал художественным руководителем и дирижёром ансамбля. В 1988 году Борис Фрумкин со своим ансамблем участвует как пианист и дирижёр в первой совместной советско-американской постановке мюзикла на музыку Дюка Эллингтона «Настоящая леди» (Sophisticated Ladies) при спонсорской поддержке American Express и под патронажем первой леди США Нэнси Рейган.

С 2007 года — художественный руководитель Государственного камерного оркестра джазовой музыки имени Олега Лундстрема.