Родился в Волгодонске. Окончил Московскую государственную консерваторию имени П. И. Чайковского и аспирантуру консерватории (класс профессора Эдуарда Грача), продолжил обучение под руководством Огюстена Дюмэ в Музыкальной капелле королевы Елизаветы в Брюсселе и Анны Чумаченко в Академии в Кронберге.

Получил II премию и пять специальных призов на XIII Международном конкурсе имени П. И. Чайковского. С тех пор музыкант активно сотрудничает с ведущими российскими оркестрами.

Знаковой для скрипача стала победа в Хельсинки на конкурсе имени Сибелиуса в 2010 году. Уже более десяти лет регулярно выступает с крупнейшими оркестрами Финляндии. В 2010 году стал лауреатом I премии Международного конкурса Фрица Крейслера в Вене. В последние годы выступал на Большой сцене Концертхауса в Вене с Николаем Луганским, Нареком Ахназаряном и Максимом Рысановым.

С сезона 2022–2023 Никита Борисоглебский стал резидентом Концертхауса в Вене, где выступает в трио с Нареком Ахназаряном и Георгием Чаидзе. В сезоне 2023–2024 скрипач выступал в Карнеги-холле и Центре исполнительских искусств Ричарда Б. Фишера в Нью-Йорке, солировал с Барселонским симфоническим оркестром, Венским камерным оркестром, Государственным симфоническим оркестром Стамбула и Симфоническим оркестром Тенерифе.