Родилась в посёлке Нижний Архыз в Карачаево-Черкесской Республике. 

Окончив Московскую консерваторию и аспирантуру в классе профессора Л. В. Рощиной и получив звание «Лучший выпускник года — 2014», продолжила совершенствовать мастерство в Базельской академии музыки (Швейцария) у профессора Клаудио Мартинеса Менера. Международная известность пришла к молодой пианистке в 2015 году, когда она одержала победу на престижном конкурсе пианистов в Лидсе (Великобритания) — одном из главных состязаний в области классической музыки. Анна стала второй в истории конкурса женщиной, получившей главную награду. Также она является лауреатом многих международных конкурсов, среди которых конкурсы пианистов в Хамамацу и Такамацу в Японии.

Активно концертирует по всему миру с сольными программами и выступает с оркестрами, покоряя такие прославленные залы, как Wigmore Hall в Лондоне, Tonhalle в Цюрихе, Concertgebouw в Амстердаме, Шанхайский восточный центр искусств и многие другие. Сотрудничает со всемирно известными коллективами, в числе которых Wuppertal Symphony Orchestra, London Symphony Orchestra, Симфонический оркестр Базеля, оркестр Мариинского театра, Национальный филармонический оркестр России, оркестр Токийской филармонии, Симфонический оркестр Сингапура. Выпустив несколько сольных альбомов, подписала в 2019 году эксклюзивный контракт с британским звукозаписывающим лейблом Signum Classics и записала для него Концерт № 2 Брамса для фортепиано с оркестром в сопровождении Немецкого симфонического оркестра Берлина.

В 2019 году пианистка вошла в состав жюри Международного телевизионного конкурса юных музыкантов «Щелкунчик». Благодаря «динамичности, размаху и искренности в общении со слушателем», по словам International Piano Magazine, Анна Цыбулёва является одним из лучших музыкантов своего поколения, «которой суждено стать мировой звездой фортепианного искусства» (APE Musicale, Италия). 

С 2021 года является Артисткой Yamaha.