Дирижёр Большого театра России. Заслуженный артист Российской Федерации. Трижды номинировался на Национальную театральную премию «Золотая маска», в 2020 году стал её лауреатом в номинации «Балет. Лучшая работа дирижёра» («Зимняя сказка», Большой театр), а в 2023 году — в номинации «Балет. Современный танец. Лучшая работа дирижёра» («Танцемания», Большой театр).

Окончил Уральскую государственную консерваторию имени М. П. Мусоргского по классу трубы и аспирантуру по специальности «Оперно-симфоническое дирижирование» (класс профессора Евгения Бражника). Совершенствовал мастерство в Высшей школе музыки «Моцартеум» (Зальцбург, Австрия).

В разные годы был художественным руководителем и главным дирижёром Челябинского государственного академического театра оперы и балета имени М. И. Глинки, штатным дирижёром Московского академического Музыкального театра имени К. С. Станиславского и Вл. И. Немировича-Данченко, штатным дирижёром Большого театра России. С 2020 года — заместитель главного дирижёра, музыкального руководителя театра по Камерной сцене Большого театра.

В репертуаре Антона Гришанина — свыше пятидесяти оперных и балетных спектаклей, среди которых оперы «Иоланта» Чайковского, «Каменный гость» Даргомыжского, балеты «Герой нашего времени» Демуцкого, «Забытая земля» на музыку Бриттена, «Нуреев» Демуцкого, «Зимняя сказка» Тэлбота, «Мастер и Маргарита» на музыку Шнитке и Лазара.

Сотрудничает с различными театрами и оркестрами в России и за рубежом.